Logaritmos e Exponenciais - Pt. 3

Quantos infinitos existem? - Pt. 2

QUANTOS INFINITOS EXISTEM?

Um conceito chave que deve ser fixado neste momento é o de enumerabilidade. 

Um conjunto é enumerável se e somente se é possível uma bijeção entre ele e o conjunto dos números naturais.

Bijeção entre dois conjuntos significa que há sempre uma correspondência um para um entre eles. Exemplos:

Vemos uma tabela com a correspondência entre os naturais e, você deve ter notado, os quadrados perfeitos, os inteiros, os pares e os ímpares. Isso, no fundo, significa que estes conjuntos podem ser ordenados de forma organizada, porque o conjuntos dos naturais nada mais é do que um conjunto de índices. Um pouco mais complicado (mas possível) é ordenar os racionais.

Esta é a prova que a cardinalidade dos inteiros é a mesma destes conjuntos e, de fato, de muitos outros (divirta-se criando infinitos conjuntos com esta cardinalidade).


Os infinitos dos inteiros, dos quadrados perfeitos, dos pares, dos ímpares, dos racionais, ... , são todos iguais.

 Cantor definiu que dois conjuntos tem a mesma cardinalidade quando é possível uma bijeção entre seus elementos, mesmo que os conjuntos tenham cardinalidade transfinita [ou seja, infinitos elementos].

Agora vamos adiante: provemos que o conjunto dos números reais é não-enumerável. Para isto, usaremos o famosíssimo argumento da Diagonal de Cantor.

3  1  4  1  5  9  2  6  ...
1  2  4  1  7  3  7  2  ...
1  5  6  7  8  3  6  3  ...

3  5  3  5  3  5  3  5  ...

7  8  7  6  8  6  7  5  ...

6  4  9  5  9  3  9  6  ...

2  3  4  5  6  1  2  3  ...

1  8  9  7  8  6  7  5  ...

.. .. .. .. .. .. .. .. ..

Vamos supor, por absurdo, que seja possível fazer uma lista, evidentemente infinita, com todos os números reais de forma ordenada. Neste caso, você poderia dizer: o 2542º real é o 23876283..., por exemplo. Vamos construir um novo real, da seguinte forma:

1) Pegue o 1º algarismo do 1º número. Escolha um algarismo diferente.

2) Pegue o 2º algarismo do 2º número. Escolha um algarismo diferente.

3) Pegue o 3º algarismo do 3º número. Escolha um algarismo diferente.

E daí em diante. O novo número, com os algarismos escolhidos, será diferente de todos os outros da lista, porque difere de cada um pelo menos por um algarismo.


LEIA QUANTAS VEZES FOR NECESSÁRIO PARA ENTENDER ISTO!

Se mesmo com uma lista infinita de reais que parecia ordenada podemos criar um novo real diferente dos demais, não é possível estabeler uma bijeção entre R e N. Temos portanto, que a cardinalidade de R é maior que a de N.


O infinito dos reais é maior que o dos naturais.

Qual o tamanho do infinito? - Pt. 1

Para responder a esta perguntar, temos que saber primeiro quem foi Georg Cantor. Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845 - 1918) nasceu na Rússia mas viveu na Alemanha, estudando com grandes nomes (Weierstrass e Kummer). É amplamente conhecido pelos trabalhos na Teoria dos Conjuntos e pela proposição de conceitos muito importantes, como cardinalidade de um conjunto (cardinalidade é a quantidade de elementos do conjunto) e número transfinito (a cardinalidade de um conjunto infinito é um número transfinito). A Hipótese nos fascina tanto por envolver conceitos interessantes e contra intuitivos, como o tamanho dos infinitos: são todos iguais?

Cantor provou que:

i) a cardinalidade do conjunto dos naturais é a mesma dos inteiros e dos racionais [traduzindo: o infinito dos naturais é tão grande quanto o dos inteiros e o dos racionais]. A letra dada por Cantor para representar essa cardinalidade foi a 1ª letra do alfabeto hebraico aleph com o índice zero:

ii) a cardinalidade do conjunto dos reais é maior que aleph zero [ou seja, o infinito dos reais é maior que o dos naturais, inteiros e racionais]. Escrevemos que é aleph um:

Repita qualquer das afirmações acima para colegas de colégio ou faculdade leigos e você será considerado louco e rapidamente excluído do círculo social deles.

De fato, você seria banido e excomungando do convívio de todos os matemáticos pré-cantorianos se dissesse isso. Já dizia Gauss, que briga pelo posto de maior gênio matemático da história com uma meia dúzia de caras: "Eu protesto contra o uso de uma quantidade infinita como qualquer coisa completa, o que não é nunca possível em Matemática. O infinito é meramente uma maneira de falar, significando em verdade um limite do qual certas razões se aproximam indefinidamente perto."

A pergunta de Cantor foi a seguinte: existe algum conjunto cuja cardinalidade é intermediária entre essas duas, ou seja, maior que a dos racionais e menor que a dos reais? Existe algum infinito entre estes dois?

Esta é a Hipótese do Contínuo.

Quando Hilbert propôs sua lista de 23 problemas (1990) para a comunidade físico-matemática, este foi o 1º, e considera-se que tenha sido resolvido por Paul Cohen em 1963, após as contribuições de Kurt Gödel em 1938.

As Hipóteses do Contínuo

Achei de bom tom uma justificativa para o nome do blog. Então, darei uma breve explicação do significado das Hipóteses do Contínuo!

Primeiramente, há duas Hipóteses do Contínuo bem diferentes. Uma na área da Matemática conhecida como Teoria dos Conjuntos e é devida a Cantor. A segunda no contexto da Mecânica dos Fluidos e é a condição inicial básica sobre a qual se apóiam as teorias clássicas desta matéria.

Problema - OBM

A Olimpíada Brasileira de Matemática é merecidamente considerada uma das mais difíceis pelo menos da América Latina. Não é à toa que os brasileiros têm conquistado muitas medalhas na Olimpíada do Cone Sul e até mesmo na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO).

A seguir, mostrarei um exemplo de problema e em seguida sua resolução.

PROBLEMA 1 – FASE FINAL – NIVEL 3 – XXXI OBM - 2009

Esmeralda escreve 2009² números inteiros em uma tabela com 2009 linhas e 2009 colunas, colocando um número em cada casa da tabela. Ela soma corretamente os números em cada linha e em cada coluna, obtendo 4018 resultados. Ela percebeu que os resultados são todos distintos. É possível que esses resultados sejam todos quadrados perfeitos?

Nota: contribuições de Wagner Cháves para essa resolução.

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 2

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 4

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 1

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 3

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 2

Logaritmos e Exponenciais - Introdução

A seguir, uma série de posts esclarecendo de uma vez por todas o que são os logaritmos e as exponenciais.

O autor, José Carlos Eidam, é pesquisar e professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP e, atualmente, meu professor de Cálculo IV. Ele permitiu que eu publicasse todo o rigor matemático por trás destas importantes funções matemáticas.

Percebamos que o raciocínio parece estar inverso: ele começa definindo o logaritmo natural como uma integral e, a partir das propriedades das integrais, demonstra propriedades dos logaritmos e termina por apresentar a exponencial como a função inversa do logaritmo.

Belíssimo.

Logaritmos e Exponenciais - Pt. 1

Logaritmos e Exponenciais - Introdução

A seguir, uma série de posts esclarecendo de uma vez por todas o que são os logaritmos e as exponenciais.

O autor, José Carlos Eidam, é pesquisar e professor do Instituto de Matemática e Estatística da USP e, atualmente, meu professor de Cálculo IV. Ele permitiu que eu publicasse todo o rigor matemático por trás destas importantes funções matemáticas.

Percebamos que o raciocínio parece estar inverso: ele começa definindo o logaritmo natural como uma integral e, a partir das propriedades das integrais, demonstra propriedades dos logaritmos e termina por apresentar a exponencial como a função inversa do logaritmo.

Belíssimo.

Bonito Somatório

Quem acompanhou as demonstrações acerca de Integrais de Polinomiais viu, em meio a um lema, um somatório com propriedades muito especiais. Demonstrei a existência de um somatória cujo valor independe dos índices superior e inferior. Bonito, não?

Bonito Somatório

Quem acompanhou as demonstrações acerca de Integrais de Polinomiais viu, em meio a um lema, um somatório com propriedades muito especiais. Demonstrei a existência de um somatória cujo valor independe dos índices superior e inferior. Bonito, não?