Quantos infinitos existem? - Pt. 2

QUANTOS INFINITOS EXISTEM?

Um conceito chave que deve ser fixado neste momento é o de enumerabilidade. 

Um conjunto é enumerável se e somente se é possível uma bijeção entre ele e o conjunto dos números naturais.

Bijeção entre dois conjuntos significa que há sempre uma correspondência um para um entre eles. Exemplos:

Vemos uma tabela com a correspondência entre os naturais e, você deve ter notado, os quadrados perfeitos, os inteiros, os pares e os ímpares. Isso, no fundo, significa que estes conjuntos podem ser ordenados de forma organizada, porque o conjuntos dos naturais nada mais é do que um conjunto de índices. Um pouco mais complicado (mas possível) é ordenar os racionais.

Esta é a prova que a cardinalidade dos inteiros é a mesma destes conjuntos e, de fato, de muitos outros (divirta-se criando infinitos conjuntos com esta cardinalidade).


Os infinitos dos inteiros, dos quadrados perfeitos, dos pares, dos ímpares, dos racionais, ... , são todos iguais.

 Cantor definiu que dois conjuntos tem a mesma cardinalidade quando é possível uma bijeção entre seus elementos, mesmo que os conjuntos tenham cardinalidade transfinita [ou seja, infinitos elementos].

Agora vamos adiante: provemos que o conjunto dos números reais é não-enumerável. Para isto, usaremos o famosíssimo argumento da Diagonal de Cantor.

3  1  4  1  5  9  2  6  ...
1  2  4  1  7  3  7  2  ...
1  5  6  7  8  3  6  3  ...

3  5  3  5  3  5  3  5  ...

7  8  7  6  8  6  7  5  ...

6  4  9  5  9  3  9  6  ...

2  3  4  5  6  1  2  3  ...

1  8  9  7  8  6  7  5  ...

.. .. .. .. .. .. .. .. ..

Vamos supor, por absurdo, que seja possível fazer uma lista, evidentemente infinita, com todos os números reais de forma ordenada. Neste caso, você poderia dizer: o 2542º real é o 23876283..., por exemplo. Vamos construir um novo real, da seguinte forma:

1) Pegue o 1º algarismo do 1º número. Escolha um algarismo diferente.

2) Pegue o 2º algarismo do 2º número. Escolha um algarismo diferente.

3) Pegue o 3º algarismo do 3º número. Escolha um algarismo diferente.

E daí em diante. O novo número, com os algarismos escolhidos, será diferente de todos os outros da lista, porque difere de cada um pelo menos por um algarismo.


LEIA QUANTAS VEZES FOR NECESSÁRIO PARA ENTENDER ISTO!

Se mesmo com uma lista infinita de reais que parecia ordenada podemos criar um novo real diferente dos demais, não é possível estabeler uma bijeção entre R e N. Temos portanto, que a cardinalidade de R é maior que a de N.


O infinito dos reais é maior que o dos naturais.