A Geometria Plana e a Geometria Analítica

A GENIALIDADE INTERPRETATIVA E O PODER DESCRITIVO


A Geometria Analítica utiliza-se da capacidade de descrever qualquer figura plana usando eixos coordenados. Este poder, de fato, extrapola a Geometria Plana e se aplica a funções de todos os tipos, no plano, no espaço ou em um número arbitrário de dimensões. Sob esta perspectiva, a Geometria Analítica apresenta-se como uma ferramenta extremamente eficiente e, não raro, imprescindível na análise e na descrição de fenômenos físicos representados por funções, bem como nas perscrutações teóricas empreendidas pelos matemáticos nos ramos mais abstratos do conhecimento. Nestes campos, troca de roupagem, infiltra-se nos teoremas, encobre-se sob o véu dos conceitos e parece esquecer a interpretação puramente geométrica. Recebe, então, os nomes de Cálculo Diferencial e Integral, Análise, Geometria Diferencial, Cálculo Variacional...

No entanto, dificilmente ver-se-ão demonstrações mais preenchidas de toques de genialidade entremeados a sutilezas de raciocínio quanto na Geometria Plana. No âmbito das duas dimensões, a Geometria Analítica parece pesada, lenta, ineficiente, principalmente quando contraposta à simplicidade e à beleza dos conceitos geométricos planos, muitos dos quais conhecidos desde a Antiguidade pelos gregos e aperfeiçoados ao longo de milênios. O termo MateMágica manifesta-se em sua forma mais pura quando eliminam-se longas e trabalhosas contas através de retas paralelas milagrosas ou quadriláteros inscritíveis inesperados.

O avanço do conhecimento, no entanto, encarregou-se da necessidade de se criarem métodos analíticos, por Fermat e Descartes. Em um patamar superior de dificuldade, fato é que rareiam os problemas factíveis através da Geometria Plana. Poucos desenvolveram esta nova Geometria tão habilmente quanto Euler e Gauss, mas centenas de nomes compuseram a trajetória da Geometria Analítica e de suas variações. Ao aliar a interpretação geométrica das operações algébricas ao sentido aritmético adquirido pelas figuras planas, pensava-se ser possível descrever o mundo através de funções e eixos.

Irônico é que, até recentemente, poucos haviam percebido que nenhum objeto fora do papel sequer é contínuo, reduzindo a tão fabulosa capacidade descritiva da Geometria Analítica a zero, ou melhor, à origem dos eixos.

No que concerne às duas ou três dimensões em que vivemos, resta-nos uma escolha: o legado dos Antigos e o brilho nos olhos que acompanha a genialidade de Euclides ou o uso da ferramenta criada para resolver os mais intrincados e complexos problemas, sob o olhar sereno de Fermat a contemplar a força dos eixos coordenados?

As Equações de Hamilton

Sir William Rowam Hamilton, tal qual os outros dois cientistas já mencionados, foi um dos maiores gênios da humanidade. Aos 12 anos, falava 13 línguas e foi considerado um ‘segundo Newton’ em Cambridge. Amplamente conhecido devido aos trabalhos em Mecânica e à criação dos Quatérnions (números com três partes imaginárias independentes e uma real).

Ao vislumbrar o poder das idéias de Lagrange sobre a mecânica, concebeu um conceito ainda mais geral e irrestrito, conhecido como Mecânica Hamiltoniana. Tal conceito, usando forças e coordenadas generalizadas, descreve o sistema através de uma função H denominada Hamiltoniano. Na sua Mecânica, obtém-se um sistema de 2n (n continua representando os graus de liberdade independentes) equações diferenciais ordinárias de segunda ordem que descrevem o sistema (evidendemente, o fato de haver mais equações simplifica o problema, ao contrário do que pensamos inicialmente). Em um de seus artigos expondo a nova Mecânica, Hamilton demonstra a Equação de Lagrange de uma terceira forma.

A Equação de Lagrange

No século XVIII, Joseph-Louis Lagrange vislumbrou toda a Mecânica sob uma nova perspectiva, definindo uma nova função L, chamada posteriormente de Lagrangiana em sua homenagem, representativa do balanço energético do sistema. L = T – V, em que T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema em questão. A descrição deste processo pode ser encontrada em seu livro Mecánique Analytique. 

Dessa forma, dispensam-se as trabalhosas decomposições vetoriais recorrentes na Mecânica de Newton. De fato, normalmente não é necessário recorrer a nenhum vetor, tudo é resolvido com escalares. Mas, muito mais do que isso, o poder da Mecânica de Lagrange, cujo conjunto das extensões por diversos matemáticos e mecanicistas é conhecido como Mecânica Analítica, deriva de um fato inédito: é possível descrever toda a Mecânica com um único princípio, uma única fórmula, um único conceito. A saber:

Nesta equação, a equação de Lagrange, o que significam Q e q? A resposta revela uma das maiores ferramentas da Mecânica Analítica, conseqüência da genialidade de Lagrange e apresentada em seu livro: Q é a força generalizada e qi são as coordenadas generalizadas. As coordenada retangulares x y z, tão usuais, frequentemente descrevem os sistemas de forma menos simples e compacta. Por exemplo, a melhor forma de descrever os pontos pertencentes a uma casca cilíndrica e a uma casca esférica são, respectivamente, as coordenadas conhecidas como cilíndricas e esféricas, velhas conhecidas da comunidade matemática. Generalizando este conceito, podemos entender tais coordenadas como os ângulos e deslocamentos que melhor (e unicamente!) descrevem o movimento do sistema, como exemplificado abaixo. 

Como é de se esperar, é necessário que não apenas haja uma correspondência biunívoca entre as coordenadas generalizadas e as retangulares ou, de forma mais geral, entre o próprio estado do sistema. 

Analogamente, a força generalizada pode ser compreendida como uma força ou um momento (torque) com a capacidade de acelerar algum componente do sistema. De fato, não é necessário que as coordenadas generalizadas sejam deslocamentos ou ângulos nem que a força generalizada seja uma força ou um momento, mas sim que o produto Qq tenha a unidade de trabalho ou energia: Joule. 

Compreendidos tais conceitos, pode-se aplicar a Equação de Lagrange a qualquer sistema mecânico da seguinte forma: 

 - Definimos as n coordenadas generalizadas de maior interesse, uma para cada grau de liberdade independente. 

- Calculamos o valor da energia cinética e da força generalizada em função destas coordenadas generalizadas. 

- Escrevemos n equações de Lagrange para cada coordenada generalizada escolhida. 

O sistema de equações resultante apresentará n equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares ou não lineares. No caso em que são não lineares, podem apresentar sob certas condições o que denominamos comportamento caótico, mas isto é assunto para outro paper. Em posse das equações diferenciais, podemos integrá-las e obter as soluções analíticas ou, dada a dificuldade de se fazer isso normalmente, simulá-las numericamente com o auxílio de um computador.

A Equação de Euler

Leonhard Euler, matemático e mecanicista suíço, pode ser considerado sob muitos aspectos o maior matemático que já existiu (estima-se que tenha publicado 866 artigos científicos). Orientou Lagrange na Universidade e o indicou para substituí-lo como diretor da Academia de Berlin, entre outros fatos.  O Cálculo Variacional permite demonstrar a Equação de Euler de uma forma totalmente diferente, ao empregar o chamado Princípio da Mínima Ação ou Princípio de Hamilton.

Inicialmente, a despeito de qualquer interpretação física, propõe-se a resolução de uma problema relacionado a extremizar (maximizar, minimizar ou tornar estacionário) funcionais, como será explicado com detalhes adiante. Ao resolver o problema, obtém-se a Equação de Euler do Cálculo Variacional – é mais prudente adicionar qual o campo do conhecimento, dado que “equação de Euler” e “teorema de Euler” significam muitas coisas dependendo do conceito.

O Princípio da Mínima Ação afirma que dentre todos os movimentos que um sistema pode realizar entre dois instantes, ele sempre executa aquele que minimiza ou deixa estacionária a função Ação. A função Ação, de difícil compreensão, pode ser entendida como uma espécie de balaço energético do sistema.

Aplicando tal princípio à equação de Euler obtemos a Equação de Lagrange, que por isso às vezes é denominada Equação de Euler-Lagrange.

As Leis de Newton

A Mecânica Newtoniana, concebida primordialmente por Isaac Newton no século XVII, baseia-se fundamentalmente em três Leis, que, para evitar certos problemas de lógica, podem ser escritas sob a forma:

1) Se a resultante das forças sob um corpo é nula, ele está em repouso em relação a algum referencial inercial.
- Evidentemente, se o corpo realiza um movimento retilíneo uniforme em relação a algum referencial inercial, está em repouso em relação a outro que também realiza um movimento retilíneo uniforme e com vetor velocidade idêntico ao seu.

2) A aceleração é diretamente proporcional à resultante das forças que agem em um corpo, com um fator de proporcionalidade, chamado de massa do corpo m.

3) À toda força corresponde uma reação de mesma magnitude, na mesma direção e sentido oposto.
- A 3ª Lei não é geral: partículas muito distantes submetidas a forças eletromagnéticas violam-na, dado que a velocidade limite do universo, como postulado por Einstein, é c (a velocidade da luz ou das ondas eletromagnéticas no vácuo).

Breve História da Mecânica Analítica

Redigi um texto para compartilhar com os amantes da Física os principais aspectos da história da Mecânica Analítica. Espero que gostem e reportem possíveis erros.

Organização:
1) As Leis de Newton
2) A Equação de Lagrange
3) A Equação de Euler
4) As Equações de Hamilton

O Teorema de Cantor - Pt. 4

A CHAVE PARA A INFINITUDE DOS INFINITOS

No seu artigo de 1891, Über eine elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre, Cantor apresentou pela primeira vez o argumento que ficou conhecido como Diagonal de Cantor. Neste artigo, encontra-se também a famosa prova de que o conjunto potência P(A) tem cardinalidade estritamente maior que o conjunto A, usando a técnica matemática conhecida como redução ao absurdo (do latim reductio ad absurdum).

Demonstração:

Suponhamos, por absurdo, que existe uma correspondência um para um entre A e P(A), ou seja, que existe uma função f injetora que liga os dois conjuntos. Mostraremos que essa função não é nem sobrejetora. Foi este tipo de argumento que usamos para provar que R tem cardinalidade maior que N.

Podemos dividir os elementos de A em elementos bons ou maus:

Um elemento é dito bom se ele está no conjunto ao qual ele está ligado. 
Um elemento é dito mau se ele não está no conjunto ao qual ele está ligado.

Exemplificando com o conjunto dos números naturais:

{1} -> {1, 2}                              1 é bom
{2} -> {1, 3}                              2 é mau
{3} -> {2, 3, 4, 5, 6}                   3 é bom
{4} -> {1, 3, 5, 7, 9, ...}              4 é mau

Agora considere o subconjunto dos elementos maus. A qual elemento de A ele está ligado? Não sabemos, mas este elemento só pode ser bom ou mau.

* Ele é bom - impossível, porque ele estaria ligado a um subconjunto que não o contém e seria, portanto, mau.
* Ele é mau - impossível, porque ele estaria ligado a um subconjunto que o contém e seria, portanto, bom.

Genial, não? Uma prova tão simples e uma implicação tão forte. Já ouviu falar da frase "eu sou mentiroso", que necessariamente leva a uma contradição? Ocorre exatamente o mesmo paradoxo. Analise a frase supondo que quem a diz é uma pessoa mentirosa ou não e veja o que acontece.

Temos, portanto, que este subconjunto de A não pode estar ligado a um elemento de A e, desta forma, que há mais subconjuntos de A do que elementos de A.

Teorema de Cantor: 

cardinalidade de P(A) > cardinalidade de A.

Quanto dá infinito mais infinito? - Pt. 3

Como consequência da existência de vários infinitos, temos uma álgebra para eles.

Primeiro vamos definir o que é chamado conjunto potência de um conjunto. Conjunto potência de um conjunto A é o conjunto dos subconjuntos de A e denotamos P(A). Exemplo:

A={a, b, c}
P(A)={{vazio}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Quando o conjunto A é finito e tem cardinalidade n, o conjunto potência tem cardinalidade 2 elevado a n. No exemplo acima, A tem 3 elementos e P(A) tem 8 (= 2 elevado a 3) elementos.

Quando o conjunto é infinito, fica mais difícil fazer esta conta (quanto vale 2 elevando a infinito?). No entanto, Cantor demonstrou que P(A) tem cardinalidade estritamente maior que A, mesmo que A seja infinito. Este teorema é conhecido como Teorema de Cantor. Demonstrá-lo-ei em outro post.

Podemos então, chegar à uma nova formulação da Hipótese do Contínuo:
A cardinalidade dos reais é a mesma que a do conjunto potência dos naturais?

Demonstramos que o infinito dos reais é maior que o dos naturais no último post, mas o Teorema de Cantor afirma que o conjunto dos subconjuntos dos naturais também tem mais elementos que os naturais.

Depois veremos como fica esta discussão, por enquanto vejamos como trabalhar com números transfinitos.

Como decorrência do Teorema de Cantor, temos que existem infinitos infinitos. Dado um conjunto infinito, criamos outro maior que ele através do seu conjunto potência. Então, dado um conjunto cuja cardinalidade é aleph-n, definimos a álgebra dos números transfinitos da seguinte forma (a é um número real qualquer):

A álgebra não é intuitiva. No fundo ela diz que podemos fazer operações simples (adição e multiplicação) com um número transfinito que não vamos aumentá-lo se a operação não envolver um transfinito maior do que ele. No caso em que m > n, temos:

Como se vê, a álgebra é baseada na majoração dos infinitos e permite que trabalhemos com infinitos como se fossem números reais.

Por fim, digo qual é a Hipótese Generalizada do Contínuo:

O conjunto potência de um conjunto infinito sempre tem a cardinalidade do próximo infinito?

A parte realmente divertida disto tudo é que a Hipótese Generalizada do Contínuo não pode ser provada a partir da Hipótese do Contínuo, ou seja, após tanta discussão, subimos apenas o primeiro degrau de uma longa escada.

De fato, de uma escada infinita.

Quantos infinitos existem? - Pt. 2

QUANTOS INFINITOS EXISTEM?

Um conceito chave que deve ser fixado neste momento é o de enumerabilidade. 

Um conjunto é enumerável se e somente se é possível uma bijeção entre ele e o conjunto dos números naturais.

Bijeção entre dois conjuntos significa que há sempre uma correspondência um para um entre eles. Exemplos:

Vemos uma tabela com a correspondência entre os naturais e, você deve ter notado, os quadrados perfeitos, os inteiros, os pares e os ímpares. Isso, no fundo, significa que estes conjuntos podem ser ordenados de forma organizada, porque o conjuntos dos naturais nada mais é do que um conjunto de índices. Um pouco mais complicado (mas possível) é ordenar os racionais.

Esta é a prova que a cardinalidade dos inteiros é a mesma destes conjuntos e, de fato, de muitos outros (divirta-se criando infinitos conjuntos com esta cardinalidade).

Os infinitos dos inteiros, dos quadrados perfeitos, dos pares, dos ímpares, dos racionais, ... , são todos iguais.

 Cantor definiu que dois conjuntos tem a mesma cardinalidade quando é possível uma bijeção entre seus elementos, mesmo que os conjuntos tenham cardinalidade transfinita [ou seja, infinitos elementos].

Agora vamos adiante: provemos que o conjunto dos números reais é não-enumerável. Para isto, usaremos o famosíssimo argumento da Diagonal de Cantor.

3  1  4  1  5  9  2  6  ...
1  2  4  1  7  3  7  2  ...
1  5  6  7  8  3  6  3  ...

3  5  3  5  3  5  3  5  ...

7  8  7  6  8  6  7  5  ...

6  4  9  5  9  3  9  6  ...

2  3  4  5  6  1  2  3  ...

1  8  9  7  8  6  7  5  ...

.. .. .. .. .. .. .. .. ..

Vamos supor, por absurdo, que seja possível fazer uma lista, evidentemente infinita, com todos os números reais de forma ordenada. Neste caso, você poderia dizer: o 2542º real é o 23876283..., por exemplo. Vamos construir um novo real, da seguinte forma:

1) Pegue o 1º algarismo do 1º número. Escolha um algarismo diferente.

2) Pegue o 2º algarismo do 2º número. Escolha um algarismo diferente.

3) Pegue o 3º algarismo do 3º número. Escolha um algarismo diferente.

E daí em diante. O novo número, com os algarismos escolhidos, será diferente de todos os outros da lista, porque difere de cada um pelo menos por um algarismo.

LEIA QUANTAS VEZES FOR NECESSÁRIO PARA ENTENDER ISTO!

Se mesmo com uma lista infinita de reais que parecia ordenada podemos criar um novo real diferente dos demais, não é possível estabeler uma bijeção entre R e N. Temos portanto, que a cardinalidade de R é maior que a de N.

O infinito dos reais é maior que o dos naturais.

Qual o tamanho do infinito? - Pt. 1

Para responder a esta perguntar, temos que saber primeiro quem foi Georg Cantor. Georg Ferdinand Ludwig Phillip Cantor (1845 - 1918) nasceu na Rússia mas viveu na Alemanha, estudando com grandes nomes (Weierstrass e Kummer). É amplamente conhecido pelos trabalhos na Teoria dos Conjuntos e pela proposição de conceitos muito importantes, como cardinalidade de um conjunto (cardinalidade é a quantidade de elementos do conjunto) e número transfinito (a cardinalidade de um conjunto infinito é um número transfinito). A Hipótese nos fascina tanto por envolver conceitos interessantes e contra intuitivos, como o tamanho dos infinitos: são todos iguais?

Cantor provou que:

i) a cardinalidade do conjunto dos naturais é a mesma dos inteiros e dos racionais [traduzindo: o infinito dos naturais é tão grande quanto o dos inteiros e o dos racionais]. A letra dada por Cantor para representar essa cardinalidade foi a 1ª letra do alfabeto hebraico aleph com o índice zero:

ii) a cardinalidade do conjunto dos reais é maior que aleph zero [ou seja, o infinito dos reais é maior que o dos naturais, inteiros e racionais]. Escrevemos que é aleph um:

Repita qualquer das afirmações acima para colegas de colégio ou faculdade leigos e você será considerado louco e rapidamente excluído do círculo social deles.

De fato, você seria banido e excomungando do convívio de todos os matemáticos pré-cantorianos se dissesse isso. Já dizia Gauss, que briga pelo posto de maior gênio matemático da história com uma meia dúzia de caras: "Eu protesto contra o uso de uma quantidade infinita como qualquer coisa completa, o que não é nunca possível em Matemática. O infinito é meramente uma maneira de falar, significando em verdade um limite do qual certas razões se aproximam indefinidamente perto."

A pergunta de Cantor foi a seguinte: existe algum conjunto cuja cardinalidade é intermediária entre essas duas, ou seja, maior que a dos racionais e menor que a dos reais? Existe algum infinito entre estes dois?

Esta é a Hipótese do Contínuo.

Quando Hilbert propôs sua lista de 23 problemas (1990) para a comunidade físico-matemática, este foi o 1º, e considera-se que tenha sido resolvido por Paul Cohen em 1963, após as contribuições de Kurt Gödel em 1938.

As Hipóteses do Contínuo

Achei de bom tom uma justificativa para o nome do blog. Então, darei uma breve explicação do significado das Hipóteses do Contínuo!

Primeiramente, há duas Hipóteses do Contínuo bem diferentes. Uma na área da Matemática conhecida como Teoria dos Conjuntos e é devida a Cantor. A segunda no contexto da Mecânica dos Fluidos e é a condição inicial básica sobre a qual se apóiam as teorias clássicas desta matéria.

As Equações de Hamilton

Sir William Rowam Hamilton, tal qual os outros dois cientistas já mencionados, foi um dos maiores gênios da humanidade. Aos 12 anos, falava 13 línguas e foi considerado um ‘segundo Newton’ em Cambridge. Amplamente conhecido devido aos trabalhos em Mecânica e à criação dos Quatérnions (números com três partes imaginárias independentes e uma real).

Ao vislumbrar o poder das idéias de Lagrange sobre a mecânica, concebeu um conceito ainda mais geral e irrestrito, conhecido como Mecânica Hamiltoniana. Tal conceito, usando forças e coordenadas generalizadas, descreve o sistema através de uma função H denominada Hamiltoniano. Na sua Mecânica, obtém-se um sistema de 2n (n continua representando os graus de liberdade independentes) equações diferenciais ordinárias de segunda ordem que descrevem o sistema (evidendemente, o fato de haver mais equações simplifica o problema, ao contrário do que pensamos inicialmente). Em um de seus artigos expondo a nova Mecânica, Hamilton demonstra a Equação de Lagrange de uma terceira forma.

Problema - OBM

A Olimpíada Brasileira de Matemática é merecidamente considerada uma das mais difíceis pelo menos da América Latina. Não é à toa que os brasileiros têm conquistado muitas medalhas na Olimpíada do Cone Sul e até mesmo na Olimpíada Internacional de Matemática (IMO).

A seguir, mostrarei um exemplo de problema e em seguida sua resolução.

PROBLEMA 1 – FASE FINAL – NIVEL 3 – XXXI OBM - 2009

Esmeralda escreve 2009² números inteiros em uma tabela com 2009 linhas e 2009 colunas, colocando um número em cada casa da tabela. Ela soma corretamente os números em cada linha e em cada coluna, obtendo 4018 resultados. Ela percebeu que os resultados são todos distintos. É possível que esses resultados sejam todos quadrados perfeitos?

Nota: contribuições de Wagner Cháves para essa resolução.

A Equação de Euler

Leonhard Euler, matemático e mecanicista suíço, pode ser considerado sob muitos aspectos o maior matemático que já existiu (estima-se que tenha publicado 866 artigos científicos). Orientou Lagrange na Universidade e o indicou para substituí-lo como diretor da Academia de Berlin, entre outros fatos.  O Cálculo Variacional permite demonstrar a Equação de Euler de uma forma totalmente diferente, ao empregar o chamado Princípio da Mínima Ação ou Princípio de Hamilton.

Inicialmente, a despeito de qualquer interpretação física, propõe-se a resolução de uma problema relacionado a extremizar (maximizar, minimizar ou tornar estacionário) funcionais, como será explicado com detalhes adiante. Ao resolver o problema, obtém-se a Equação de Euler do Cálculo Variacional – é mais prudente adicionar qual o campo do conhecimento, dado que “equação de Euler” e “teorema de Euler” significam muitas coisas dependendo do conceito.

O Princípio da Mínima Ação afirma que dentre todos os movimentos que um sistema pode realizar entre dois instantes, ele sempre executa aquele que minimiza ou deixa estacionária a função Ação. A função Ação, de difícil compreensão, pode ser entendida como uma espécie de balaço energético do sistema.

Aplicando tal princípio à equação de Euler obtemos a Equação de Lagrange, que por isso às vezes é denominada Equação de Euler-Lagrange.

A Equação de Lagrange

No século XVIII, Joseph-Louis Lagrange vislumbrou toda a Mecânica sob uma nova perspectiva, definindo uma nova função L, chamada posteriormente de Lagrangiana em sua homenagem, representativa do balanço energético do sistema. L = T – V, em que T é a energia cinética e V é a energia potencial do sistema em questão. A descrição deste processo pode ser encontrada em seu livro Mecánique Analytique. 

Dessa forma, dispensam-se as trabalhosas decomposições vetoriais recorrentes na Mecânica de Newton. De fato, normalmente não é necessário recorrer a nenhum vetor, tudo é resolvido com escalares. Mas, muito mais do que isso, o poder da Mecânica de Lagrange, cujo conjunto das extensões por diversos matemáticos e mecanicistas é conhecido como Mecânica Analítica, deriva de um fato inédito: é possível descrever toda a Mecânica com um único princípio, uma única fórmula, um único conceito. A saber:

Nesta equação, a equação de Lagrange, o que significam Q e q? A resposta revela uma das maiores ferramentas da Mecânica Analítica, conseqüência da genialidade de Lagrange e apresentada em seu livro: Q é a força generalizada e qi são as coordenadas generalizadas. As coordenada retangulares x y z, tão usuais, frequentemente descrevem os sistemas de forma menos simples e compacta. Por exemplo, a melhor forma de descrever os pontos pertencentes a uma casca cilíndrica e a uma casca esférica são, respectivamente, as coordenadas conhecidas como cilíndricas e esféricas, velhas conhecidas da comunidade matemática. Generalizando este conceito, podemos entender tais coordenadas como os ângulos e deslocamentos que melhor (e unicamente!) descrevem o movimento do sistema, como exemplificado abaixo. 

Como é de se esperar, é necessário que não apenas haja uma correspondência biunívoca entre as coordenadas generalizadas e as retangulares ou, de forma mais geral, entre o próprio estado do sistema. 

Analogamente, a força generalizada pode ser compreendida como uma força ou um momento (torque) com a capacidade de acelerar algum componente do sistema. De fato, não é necessário que as coordenadas generalizadas sejam deslocamentos ou ângulos nem que a força generalizada seja uma força ou um momento, mas sim que o produto Qq tenha a unidade de trabalho ou energia: Joule. 

Compreendidos tais conceitos, pode-se aplicar a Equação de Lagrange a qualquer sistema mecânico da seguinte forma: 

 - Definimos as n coordenadas generalizadas de maior interesse, uma para cada grau de liberdade independente. 

- Calculamos o valor da energia cinética e da força generalizada em função destas coordenadas generalizadas. 

- Escrevemos n equações de Lagrange para cada coordenada generalizada escolhida. 

O sistema de equações resultante apresentará n equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares ou não lineares. No caso em que são não lineares, podem apresentar sob certas condições o que denominamos comportamento caótico, mas isto é assunto para outro paper. Em posse das equações diferenciais, podemos integrá-las e obter as soluções analíticas ou, dada a dificuldade de se fazer isso normalmente, simulá-las numericamente com o auxílio de um computador.